2007年8月16日木曜日

フェルマーの小定理

例えば
  • 14=1 は, 5で割ると余り1.
  • 24=16 は, 5で割ると余り1.
  • 34=81 は, 5で割ると余り1.
  • 44=256 は, 5で割ると余り1.
です. また
  • 16=1 は, 7で割ると余り1.
  • 26=64 は, 7で割ると余り1.
  • 36=729 は, 7で割ると余り1.
  • 46=4096 は, 7で割ると余り1. (585×7=4095)
  • 56=15625 は, 7で割ると余り1. (2232×7=15624)
  • 66=46656 は, 7で割ると余り1. (6665×7=46655)
となります. この法則を「フェルマーの小定理」といいます.

(証明)5のときについて考えます. すべての自然数は, 5で割ると余りは0,1,2,3,4, の5種類です. 従って, 例えば2を何乗かしたものを, 5で割った余りは0,1,2,3,4のいずれかになりますが, 0になることはありません. なぜなら

2×2×2×・・・×2

に, 5という素因数が含まれないからです. さて
  • 2×2=4.
  • 2×2×2=8. 5で割ると余り3.
といったように, 2を何乗かしたものを, 5で割った余りは1,2,3,4のいずれかになりますが, 余りは4種類しかないので, 5乗すれば必ずどこかで以前の余りと同じものがでてきます.
  • 2×2×2×2=16. 5で割ると余り1.
  • 2×2×2×2×2=32. 5で割ると余り2.
そこで以下の等式が成り立ちます.

25=5n+2. (nは2の倍数)

両辺を2で割ると, 24の余りは1であることがわかります. (証明終)

上の証明では, やや論法が飛躍している部分がありますが, 大まかには以上のことからフェルマーの小定理が成り立ちます. なかなかすごい定理です.

関連: フェルマーの小定理 - Wikipedia

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